wtorek, 29 marca 2016

Kości, kostki, kosteczki...

Kostkę sześcienną zna chyba każdy. W końcu w dawnych czasach każdy "Chińczyk" czy inny "Eurobiznes" tylko i wyłącznie na K-szóstkach operował. Ale przecież na k6 świat się nie kończy - pamiętam, jakim zdziwieniem było dla mnie odkrycie faktu istnienia także kostek o innych niż 6 liczbach ścian! K4, K8, K10, K12, K20 - jakież możliwości losowania! Jaka egzotyka! Magia! Kiedy już się człowiek do tego przyzwyczaił i ochłonął, pojawiło się pytanie: jakie jeszcze kostki mogą istnieć? I dzisiaj trochę o tym.


Wymienione już k4, k6, k8, k12 i k20 wyczerpują zbiór wielościanów foremnych, nazywanych też bryłami platońskimi. Charakteryzują się tym, że wszystkie ich ściany są identycznymi wielokątami foremnymi - dla k4, k8 i k20 każda ściana jest trójkątem równobocznym, dla k6 - kwadratem, dla k12 - pięciokątem. Pozostałe warunki "foremności" wielościanu to zbieganie się jednakowej liczby ścian w każdym wierzchołku i jego wypukłość (jakikolwiek odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do bryły sam w całości należy do tej bryły).

Licencja: CC BY-SA 4.0

Ktoś mógłby spytać "a co z k10"? K10 jako bryła nie spełniająca definicji foremności, znalazła się w grupie podstawowych kości niejako na doczepkę, zapewne dlatego, że mamy po 10 palców i liczymy w systemie dziesiętnym (przynajmniej większość z nas tak ma). Ściany k10 są deltoidami (ich kształt przypomina archetypowy latawiec). Kształt k10 angielska wikipedia nazywa "pentagonal trapezohedron", co chyba najlepiej będzie przetłumaczyć na polski jako trapezoedr pięciokątny. I tutaj ciekawa sprawa - na tej samej zasadzie, na której zbudowana jest k10 możnaby skonstruować dowolną kość o parzystej liczbie ścian większej lub równej 6. Górną granicę wyznacza chyba tylko czytelność takiej kostki - jeśli ścian byłoby za dużo, określenie jaka wartość jest na górnej ściance mogłoby sprawiać trudności.



Licencja: CC BY-SA 3.0

Inna możliwość zrealizowania niemal dowolnej kości o parzystej liczbie ścian to rozwinięcie kształtu k8, którą można sobie wyobrazić jako dwa ostrosłupy o podstawie kwadratowej (czyli piramidki) sklejone podstawami. Odchodząc od kształtu będącego bryłą platońską możemy zastąpić piramidki ostrosłupami o podstawie innych niż kwadraty wielokątów (może to być pięcio-, sześcio-, siedmio- czy nawet czterdziestojednokąt). Podobnie, jak w przypadku kości trapezoedrowych ograniczeniem liczby ścian jest tutaj wygoda odczytywania wyniku. 


A jak zbudować kość, która będzie miała nieparzystą liczbę możliwych wyników? Na przykład konstruując sobie graniastosłup, który ma prostokątne ściany łączące dwie równoległe podstawy w kształcie foremnego wielokąta. Jeżeli chcielibyśmy stworzyć, dajmy na to, k17, wystarczy wziąć graniastosłup z foremnymi siedemnastokątami w podstawach i turlać nim. Żeby uniknąć niebezpieczeństwa zatrzymania się kości na którejś z siedemnastokątnych ścian można te ściany "zastrugać" doczepiając do nich siedemnastokątne ostrosłupy i odpowiednio wydłużając prostokątne ścianki. Należy wziąć jeszcze pod uwagę, że nieparzysta liczba ścian odpowiadających wynikom powoduje, że po rzucie taką kostką u góry znajduje się krawędź, a nie ściana. Oznacza to tyle, że liczbę oznaczającą wynik należałoby umieścić przy krawędzi, a nie pośrodku ścianki, podobnie, jak w przypadku k4.
 

Tyle, jeśli chodzi o kości-dziwolągi. Oczywiście wymienione możliwości to nie koniec - kostkę można przyrządzić na naprawdę wiele sposobów. Na przykład w sklepach jest dostępna k30, w kształcie trzydziestościanu rombowego, który należy do tzw. wielościanów Catalana (nie będę się wdawał w szczegóły, a zainteresowanych odsyłam do wikipedii, link w bibliografii.

Reasumując, istnieje całe mnóstwo kostek, a nawet, jak jakaś nie istnieje, to można ją stworzyć. Sky is the limit! Do tego dochodzą jeszcze różne możliwości interpretowania wyników, ale o tym innym razem.

Bibliografia:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%9B%C4%87_do_gry
https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezohedron
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bciany_Catalana
http://ptkryst.org.pl/ptk_files/ptk_files/stk.pdf

3 komentarze:

  1. Fajny artykuł ale nie wiem czy to tylko u mnie czcionka prawie nieczytelna jest.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Hmm, dzięki za feedback. Spróbujemy coś z tym zrobić.

      Usuń