środa, 29 marca 2017

Kości, kostki, kosteczki... Część szósta

Dokładnie rok minął od publikacji pierwszego artykułu o kostkach. Z okazji urodzin - część szósta:)

Pisałem ostatnio, między innymi, o Prawie Wielkich Liczb. Skoro była teoria, dzisiaj relacja z weryfikacji praktycznej. Plan eksperymentu jest prosty - wziąć k6, rzucić wiele razy, zapisać to, co wypadło i zastanowić się, czy można wyciągnąć z tego jakieś wnioski. Dodam jeszcze, że przy założeniu, że kostka jest w porządku (mam nadzieję, że jest), prawdopodobieństwo wylosowania każdego możliwego wyniku jest równe i wynosi 1/6 czyli około 0,1667. Kiedy omawiałem ten eksperyment z Maniexem stwierdził, że głupio rzucać kostką tyle razy, lepiej wykorzystać gotowy generator, który poda choćby i milion wyników. Trochę racji w tym jest, jednak skoro w grach czy to bitewnych, czy fabularnych, czy planszowych, raczej rzadko stosuje się generatory, zazwyczaj jednak korzysta się z tradycyjnych kości, to i ja przynajmniej na początek porzucam sobie zwykłą kością.


Do rzeczy. Pierwsze 20 losowań dało następujące rezultaty:
2, 6, 6, 5, 1, 6, 2, 6, 2, 4, 1, 1, 3, 1, 3, 6, 5, 1, 3, 4
Po przeliczeniu ile czego wyszło uzupełniłem słupki:

WynikLiczba wystąpieńCzęstość
150,25
230,15
330,15
420,1
520,1
670,25
 
Jak widać idealnie nie jest. Szóstki i jedynki wypadały 2,5 raza częściej niż czwórki i piątki! Dwójki i trójki znalazły się gdzieś pośrodku stawki.

Kolejne 20 losowań:
5, 5, 5, 4, 5, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 6
I kolejna tabelka - stan rzeczy po 40 losowaniach:

WynikLiczba wystąpieńCzęstość
150,125
280,2
360,15
460,15
580,2
670,175
 
Częstości rzeczywiście jakby zbiegały do 0,1667. Ale zobaczmy co będzie.

Jedziemy dalej:

4, 2, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 5, 3, 3, 6, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 4, 3
Po 60 losowaniach wyniki prezentują się następująco:
  
WynikLiczba wystąpieńCzęstość
170,1167
2160,2667
3100,1667
4100,1667
590,15
680,1333
 
Dwójka się niebezpiecznie oddala od stawki, ale trójka i czwórka celują dokładnie w prawdopodobieństwo!

Trochę przyśpieszamy i skaczemy 60 rzutów do przodu:
2, 5, 4, 6, 6, 4, 6, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 5, 5, 3, 3, 2, 1, 1,
5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 6, 5, 1, 5, 4, 4, 4, 1, 1, 3, 2, 1,
5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 4, 5, 2, 6, 3, 6, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 3.

OK. Rzuciłem kostką w sumie 120 razy. Zestawienie przyjmuje następujące kształty:
 
WynikLiczba wystąpieńCzęstość
1210,175
2230,1917
3240,2
4200,1667
5170,1417
6150,125

Ciąg dalszy już zupełnie hurtem. Kolejne 240 wyników:
 
1 1 2 1 3 3
1 4 4 2 2 1
1 3 3 2 1 1
4 1 6 1 5 1
4 3 4 5 4 5
1 6 1 1 5 3
5 6 2 4 4 4
4 5 4 5 3 4
2 1 3 3 5 6
5 5 4 2 3 5
4 1 6 2 4 3
6 6 6 2 3 2
4 4 2 2 1 2
1 5 3 6 2 2
4 3 5 2 4 5
5 3 2 3 3 5
1 6 4 2 6 1
2 6 5 6 3 5
5 1 6 5 2 2
4 6 1 6 4 5
3 4 6 6 1 1
3 2 3 3 5 3
1 5 4 5 4 6
4 4 1 3 2 1
4 3 6 5 2 2
1 5 3 6 3 2
3 5 4 1 2 4
2 6 3 2 1 3
4 3 6 4 6 2
2 4 4 2 6 1
6 3 3 1 3 3
6 2 6 3 4 5
4 4 3 5 1 2
4 4 3 4 1 5
2 3 3 2 3 2
3 6 3 6 6 6
3 1 5 6 3 2
2 3 5 3 1 1
4 5 6 4 6 5
6 1 2 5 3 2

Uffff! Podsumowanie stanu rzeczy po 360 losowaniach wygląda tak:
  
WynikLiczba wystąpieńCzęstość
1590,1639
2640,1778
3720,2
4620,1722
5520,1444
6510,1417

Myślę, że w tym miejscu powiem stop. Statystycznie powinienem otrzymać po 60 razy każdy możliwy wynik. W praktyce - sześćdziesiątki nie mam żadnej. Jedynek wypadło 59, dwójek 64, trójek 72, czwórek 62, piątek 52 i szóstek 51. 360 losowań to wciąż trochę mało, ale zaczynam mieć podejrzenia, że moja kostka lubi trójki, za to piątek i szóstek nie bardzo:( Z braku pomysłu na to, co zrobić z dziwnymi wynikami, spróbowałem policzyć wariancje dla wartości częstości, żeby sprawdzić, czy się zmniejszają. W końcu w nieskończoności powinniśmy dostać wszędzie równe wartości (1/6), a wariancja określa jak bardzo zmienne są elementy zbioru liczb (zrobiłem to trochę na czuja, ale chyba z grubsza ma to sens). Okazało się, że i owszem, wariancja otrzymanych częstości maleje wraz z ilością losowań, ale nie jakoś super żwawo, raczej opornie i w bólach. Ba! W jednym przypadku (dla wyników po 60 rzutach) zdarzyło się nawet, że parametry poszły w górę zamiast w dół. Cóż. Wprawdzie do nieskończoności naprawdę kawał drogi... ale oczekiwałem, że będzie lepiej.

Możliwe, że kostka jest nieco źle wyważona. Szkoda, że jest za ciężka żeby pływać w wodzie, ale pomyślę nad metodą sprawdzenia. Może jakby nasypać do wody soli i rozpuścić?

Spróbuję powtórzyć eksperyment, tym razem w telegraficznym skrócie i korzystając z pomocy generatora (nie uśmiecha mi się znowu rzucać kilkaset razy):

Tak wygląda nowe 360 wyników losowania k6, tym razem wygenerowane przez maszynę:


6 4 3 4 6 6 3 2 2 5 1 3
5 1 3 5 4 3 6 6 4 2 5 4
2 5 4 1 1 6 2 4 3 1 5 4
2 2 4 3 2 4 2 5 1 6 5 3
5 2 4 5 1 3 1 3 2 3 1 1
1 5 1 2 5 1 2 5 2 5 1 5
6 5 3 6 4 5 2 1 1 4 1 1
6 4 4 6 4 4 1 6 2 6 1 6
3 1 3 4 5 6 3 1 3 6 4 1
3 3 3 2 4 2 3 5 5 5 1 2
4 5 3 4 1 4 5 2 3 6 6 1
4 6 3 5 6 6 6 4 4 2 1 1
2 2 1 6 2 1 1 2 2 3 5 4
3 2 3 3 6 5 4 4 5 6 4 4
4 4 2 6 4 4 4 5 5 6 5 1
4 4 4 3 5 3 2 2 5 5 2 1
6 3 2 2 3 3 4 3 2 6 1 5
1 2 2 1 4 5 1 3 2 5 5 2
6 2 2 5 3 2 3 3 1 2 3 4
3 4 4 4 1 1 2 6 5 4 6 4
5 1 6 3 3 6 6 3 3 1 2 4
1 5 3 2 5 5 5 2 1 1 4 1
5 2 6 2 1 6 4 2 6 2 6 1
4 6 6 1 3 6 3 6 6 1 2 2
4 6 3 3 1 6 4 6 6 1 5 3
3 1 2 5 4 4 4 3 1 1 1 3
6 2 4 3 4 2 3 6 6 3 6 6
1 4 6 2 1 2 3 1 6 4 2 6
6 5 2 2 1 2 3 4 4 4 6 6
2 1 3 6 1 5 2 3 3 5 4 5

Wyniki rozłożyły się następująco:

WynikLiczba wystąpieńCzęstość
1620,1722
2630,1750
3600,1667
4640,1778
5510,1417
6600,1667

Losowań znów było 360, więc każdy jeden wynik w idealnej sytuacji powinien wystąpić 60 razy, co daje 0,1667 czyli 16,67% całej puli. Najmniej wypadło piątek - o 9 mniej, niż możnaby się spodziewać (różnica wyniosła 2,5%). Najwięcej jest tym razem czwórek, o 4 "za dużo" (1,11%). W dwóch przypadkach (trójki i szóstki) wyszło dokładnie tyle, ile miało. Wyniki są nieco bardziej zbieżne z oczekiwanymi, niż w przypadku rzutów moją kostką. Wychodzi, że z kostką nie jest aż tak źle, ale chyba jednak 360 losowań to dość mało.

Spróbuję jeszcze raz, ostatni, w celu weryfikacji. Znowu automatem, ale zwiększę liczbę losowań do, powiedzmy, 12000. Nie będę już wklejał wartości (za dużo ich), tylko samo podliczenie wyników:

WynikLiczba wystąpieńCzęstość
120180,1682
220100,1675
319880,1657
420090,1674
519390,1616
620360,1697

Co wyszło - widać powyżej. Jest lepiej - częstości wyraźnie są coraz bliżej czegoś około 0,1667. Największa odchyłka w minusie jest tym razem na piątkach (-0,5%), w plusie - na szóstkach (+0,3%). Jest lepiej. I pewnie byłoby jeszcze lepiej, gdyby losować dalej. Aż do nieskończoności:) 

Podsumowanie.

Rzucając paręset razy kością, przekonałem się, że 360 rzutów to wcale nie tak dużo, a nazwa "Prawo Wielkich Liczb" naprawdę odnosi się do WIELKICH liczb. Poza tym udało się (chyba) pokazać, że wspomniane prawo to prawda. I to by było z grubsza tyle.

Jak ktoś czuje wewnętrzną potrzebę, to na wikipedii można sobie pooglądać różne mądre wzory i uczone teksty na ten temat. Albo nawet papierową książke przeczytać (bibliografia, podobna jak ostatnio, poniżej).

O czym następnym razem, jeszcze nie wiem. Ale coś wymyślę.

Bibliografia:
1. Wikipedia (Prawo Wielkich Liczb)
2. M. Zakrzewski, T. Żak: Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek
3. Hugo Steinhaus: Orzeł czy reszka?

W cyklu "Kości, kostki, kosteczki..." dotąd ukazało się sześć (licząc z tym) artykułów. Tutaj poprzednie pięć:
Kości, kostki, kosteczki...
Kości, kostki, kosteczki... Część druga
Kości, kostki, kosteczki... Część trzecia
Kości, kostki, kosteczki... Część czwarta
Kości, kostki, kosteczki... Część piąta

 

 

 

 

6 komentarzy:

  1. Zmusza mnie do ponownego zastanowienia nad moimi drewnianymi kośćmi Sylvanethów na których nader często wypadają wyniki >4. Wielkie liczby wielkimi liczbami ale cztery razy z rzędu 6 i na dokładkę 5.
    PS. jak zwykle fajnie się czytało ;)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Dzięki :) A kostki możesz łatwo sprawdzić - drewno przynajmniej pływa w wodzie, więc wyważenie dość łatwo sprawdzić.

      Usuń
  2. Zaskakująco interesujące.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Wartka akcja i suspens to moje sekrety ;)

      Usuń
  3. Dlatego właśnie jeżeli komuś zależy na balansie powinien grać kostkami z kasyna, a nie takim chińskim badziewiem :) komputerowe wyniki tez są zależne od tego jakiego generatora użyjesz - szybkiego czy dokładnego.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Jasne! Eksperyment NIE BYŁ prowadzony w kontrolowanych warunkach laboratoryjnych i użyłem w nim zwykłej, nieprofesjonalnej kostki, której wcześniej nie mierzyłem i nie ważyłem. Więc jak najbardziej należy to traktować w kategoriach ciekawostki czy zabawy, bardziej, niż poważnych badań naukowych.
      Każdy, kto tylko ma taką chęć, może na szczęście łatwo powtórzyć eksperyment z zastosowaniem narzędzi i warunków, jakie tylko będą dla niego satysfakcjonujące. Do czego zachęcam :)

      Usuń