Kości, kostki, kosteczki... Część szósta

Dokładnie rok minął od publikacji pierwszego artykułu o kostkach. Z okazji urodzin - część szósta:)

Pisałem ostatnio, między innymi, o Prawie Wielkich Liczb. Skoro była teoria, dzisiaj relacja z weryfikacji praktycznej. Plan eksperymentu jest prosty - wziąć k6, rzucić wiele razy, zapisać to, co wypadło i zastanowić się, czy można wyciągnąć z tego jakieś wnioski. Dodam jeszcze, że przy założeniu, że kostka jest w porządku (mam nadzieję, że jest), prawdopodobieństwo wylosowania każdego możliwego wyniku jest równe i wynosi 1/6 czyli około 0,1667. Kiedy omawiałem ten eksperyment z Maniexem stwierdził, że głupio rzucać kostką tyle razy, lepiej wykorzystać gotowy generator, który poda choćby i milion wyników. Trochę racji w tym jest, jednak skoro w grach czy to bitewnych, czy fabularnych, czy planszowych, raczej rzadko stosuje się generatory, zazwyczaj jednak korzysta się z tradycyjnych kości, to i ja przynajmniej na początek porzucam sobie zwykłą kością.

Do rzeczy. Pierwsze 20 losowań dało następujące rezultaty:

2, 6, 6, 5, 1, 6, 2, 6, 2, 4, 1, 1, 3, 1, 3, 6, 5, 1, 3, 4

Po przeliczeniu ile czego wyszło uzupełniłem słupki:

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	5	0,25
2	3	0,15
3	3	0,15
4	2	0,1
5	2	0,1
6	7	0,25

 

Jak widać idealnie nie jest. Szóstki i jedynki wypadały 2,5 raza częściej niż czwórki i piątki! Dwójki i trójki znalazły się gdzieś pośrodku stawki.

Kolejne 20 losowań:

5, 5, 5, 4, 5, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 6

I kolejna tabelka - stan rzeczy po 40 losowaniach:

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	5	0,125
2	8	0,2
3	6	0,15
4	6	0,15
5	8	0,2
6	7	0,175

 

Częstości rzeczywiście jakby zbiegały do 0,1667. Ale zobaczmy co będzie.

Jedziemy dalej:

4, 2, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 5, 3, 3, 6, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 4, 3

Po 60 losowaniach wyniki prezentują się następująco:

  

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	7	0,1167
2	16	0,2667
3	10	0,1667
4	10	0,1667
5	9	0,15
6	8	0,1333

 

Dwójka się niebezpiecznie oddala od stawki, ale trójka i czwórka celują dokładnie w prawdopodobieństwo!

Trochę przyśpieszamy i skaczemy 60 rzutów do przodu:

2, 5, 4, 6, 6, 4, 6, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 5, 5, 3, 3, 2, 1, 1,

5, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 6, 5, 1, 5, 4, 4, 4, 1, 1, 3, 2, 1,

5, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 4, 5, 2, 6, 3, 6, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 3.

OK. Rzuciłem kostką w sumie 120 razy. Zestawienie przyjmuje następujące kształty:

 

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	21	0,175
2	23	0,1917
3	24	0,2
4	20	0,1667
5	17	0,1417
6	15	0,125

Ciąg dalszy już zupełnie hurtem. Kolejne 240 wyników:
 

1	1	2	1	3	3
1	4	4	2	2	1
1	3	3	2	1	1
4	1	6	1	5	1
4	3	4	5	4	5
1	6	1	1	5	3
5	6	2	4	4	4
4	5	4	5	3	4
2	1	3	3	5	6
5	5	4	2	3	5

4	1	6	2	4	3
6	6	6	2	3	2
4	4	2	2	1	2
1	5	3	6	2	2
4	3	5	2	4	5
5	3	2	3	3	5
1	6	4	2	6	1
2	6	5	6	3	5
5	1	6	5	2	2
4	6	1	6	4	5

3	4	6	6	1	1
3	2	3	3	5	3
1	5	4	5	4	6
4	4	1	3	2	1
4	3	6	5	2	2
1	5	3	6	3	2
3	5	4	1	2	4
2	6	3	2	1	3
4	3	6	4	6	2
2	4	4	2	6	1

6	3	3	1	3	3
6	2	6	3	4	5
4	4	3	5	1	2
4	4	3	4	1	5
2	3	3	2	3	2
3	6	3	6	6	6
3	1	5	6	3	2
2	3	5	3	1	1
4	5	6	4	6	5
6	1	2	5	3	2

Uffff! Podsumowanie stanu rzeczy po 360 losowaniach wygląda tak:
  

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	59	0,1639
2	64	0,1778
3	72	0,2
4	62	0,1722
5	52	0,1444
6	51	0,1417

Myślę, że w tym miejscu powiem stop. Statystycznie powinienem otrzymać po 60 razy każdy możliwy wynik. W praktyce - sześćdziesiątki nie mam żadnej. Jedynek wypadło 59, dwójek 64, trójek 72, czwórek 62, piątek 52 i szóstek 51. 360 losowań to wciąż trochę mało, ale zaczynam mieć podejrzenia, że moja kostka lubi trójki, za to piątek i szóstek nie bardzo:( Z braku pomysłu na to, co zrobić z dziwnymi wynikami, spróbowałem policzyć wariancje dla wartości częstości, żeby sprawdzić, czy się zmniejszają. W końcu w nieskończoności powinniśmy dostać wszędzie równe wartości (1/6), a wariancja określa jak bardzo zmienne są elementy zbioru liczb (zrobiłem to trochę na czuja, ale chyba z grubsza ma to sens). Okazało się, że i owszem, wariancja otrzymanych częstości maleje wraz z ilością losowań, ale nie jakoś super żwawo, raczej opornie i w bólach. Ba! W jednym przypadku (dla wyników po 60 rzutach) zdarzyło się nawet, że parametry poszły w górę zamiast w dół. Cóż. Wprawdzie do nieskończoności naprawdę kawał drogi... ale oczekiwałem, że będzie lepiej.

Możliwe, że kostka jest nieco źle wyważona. Szkoda, że jest za ciężka żeby pływać w wodzie, ale pomyślę nad metodą sprawdzenia. Może jakby nasypać do wody soli i rozpuścić?

Spróbuję powtórzyć eksperyment, tym razem w telegraficznym skrócie i korzystając z pomocy generatora (nie uśmiecha mi się znowu rzucać kilkaset razy):

Tak wygląda nowe 360 wyników losowania k6, tym razem wygenerowane przez maszynę:

6	4	3	4	6	6	3	2	2	5	1	3
5	1	3	5	4	3	6	6	4	2	5	4
2	5	4	1	1	6	2	4	3	1	5	4
2	2	4	3	2	4	2	5	1	6	5	3
5	2	4	5	1	3	1	3	2	3	1	1
1	5	1	2	5	1	2	5	2	5	1	5
6	5	3	6	4	5	2	1	1	4	1	1
6	4	4	6	4	4	1	6	2	6	1	6
3	1	3	4	5	6	3	1	3	6	4	1
3	3	3	2	4	2	3	5	5	5	1	2
4	5	3	4	1	4	5	2	3	6	6	1
4	6	3	5	6	6	6	4	4	2	1	1
2	2	1	6	2	1	1	2	2	3	5	4
3	2	3	3	6	5	4	4	5	6	4	4
4	4	2	6	4	4	4	5	5	6	5	1
4	4	4	3	5	3	2	2	5	5	2	1
6	3	2	2	3	3	4	3	2	6	1	5
1	2	2	1	4	5	1	3	2	5	5	2
6	2	2	5	3	2	3	3	1	2	3	4
3	4	4	4	1	1	2	6	5	4	6	4
5	1	6	3	3	6	6	3	3	1	2	4
1	5	3	2	5	5	5	2	1	1	4	1
5	2	6	2	1	6	4	2	6	2	6	1
4	6	6	1	3	6	3	6	6	1	2	2
4	6	3	3	1	6	4	6	6	1	5	3
3	1	2	5	4	4	4	3	1	1	1	3
6	2	4	3	4	2	3	6	6	3	6	6
1	4	6	2	1	2	3	1	6	4	2	6
6	5	2	2	1	2	3	4	4	4	6	6
2	1	3	6	1	5	2	3	3	5	4	5

Wyniki rozłożyły się następująco:

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	62	0,1722
2	63	0,1750
3	60	0,1667
4	64	0,1778
5	51	0,1417
6	60	0,1667

Losowań znów było 360, więc każdy jeden wynik w idealnej sytuacji powinien wystąpić 60 razy, co daje 0,1667 czyli 16,67% całej puli. Najmniej wypadło piątek - o 9 mniej, niż możnaby się spodziewać (różnica wyniosła 2,5%). Najwięcej jest tym razem czwórek, o 4 "za dużo" (1,11%). W dwóch przypadkach (trójki i szóstki) wyszło dokładnie tyle, ile miało. Wyniki są nieco bardziej zbieżne z oczekiwanymi, niż w przypadku rzutów moją kostką. Wychodzi, że z kostką nie jest aż tak źle, ale chyba jednak 360 losowań to dość mało.

Spróbuję jeszcze raz, ostatni, w celu weryfikacji. Znowu automatem, ale zwiększę liczbę losowań do, powiedzmy, 12000. Nie będę już wklejał wartości (za dużo ich), tylko samo podliczenie wyników:

Wynik	Liczba wystąpień	Częstość
1	2018	0,1682
2	2010	0,1675
3	1988	0,1657
4	2009	0,1674
5	1939	0,1616
6	2036	0,1697

Co wyszło - widać powyżej. Jest lepiej - częstości wyraźnie są coraz bliżej czegoś około 0,1667. Największa odchyłka w minusie jest tym razem na piątkach (-0,5%), w plusie - na szóstkach (+0,3%). Jest lepiej. I pewnie byłoby jeszcze lepiej, gdyby losować dalej. Aż do nieskończoności:) 

Podsumowanie.

Rzucając paręset razy kością, przekonałem się, że 360 rzutów to wcale nie tak dużo, a nazwa "Prawo Wielkich Liczb" naprawdę odnosi się do WIELKICH liczb. Poza tym udało się (chyba) pokazać, że wspomniane prawo to prawda. I to by było z grubsza tyle.

Jak ktoś czuje wewnętrzną potrzebę, to na wikipedii można sobie pooglądać różne mądre wzory i uczone teksty na ten temat. Albo nawet papierową książke przeczytać (bibliografia, podobna jak ostatnio, poniżej).

O czym następnym razem, jeszcze nie wiem. Ale coś wymyślę.

Bibliografia:
1. Wikipedia (Prawo Wielkich Liczb)
2. M. Zakrzewski, T. Żak: Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek
3. Hugo Steinhaus: Orzeł czy reszka?

W cyklu "Kości, kostki, kosteczki..." dotąd ukazało się sześć (licząc z tym) artykułów. Tutaj poprzednie pięć:

Kości, kostki, kosteczki...

Kości, kostki, kosteczki... Część druga

Kości, kostki, kosteczki... Część trzecia

Kości, kostki, kosteczki... Część czwarta

Kości, kostki, kosteczki... Część piąta

 

 

 

 

Kości, kostki, kosteczki... Część piąta

Dziś, po długiej przerwie, kolejny odcinek cyklu kostkologicznego. Mowa będzie o trzech prawa, w tym o dwóch nieprawdziwych.

Odkąd możliwości losowania, jaką dają kości, czy choćby rzut monetą, zaczęły być wykorzystywane w hazardzie, a także odkąd zaczęli się tym tematem zajmować różni poważni i uczeni ludzie, narosły wokół różne prawa i reguły. Ich celem było wyjaśnienie zjawisk, których tyczą, ale, niestety, zdarza się, że tylko niepotrzebnie je zaciemniają. Dzisiaj napiszę o trzech takich prawach, z których jedno jest prawdziwe, a dwa - nie do końca:)

Te nieprawdziwe prawa, to prawo serii i prawo zmiany. Już na wstępie wypada powiedzieć, że te dwie reguły wzajemnie się wykluczają - jedno sugeruje, że wyniki losowania "lubią" się powtarzać, drugie, przeciwnie, że wyniki losowania mają skłonność do zmieniania się.

Oba "prawa" odzwierciedlają, na przykład, tzw. dobrą passę. Wyobraźmy sobie hazardzistę obstawiającego wynik w jakiejś grze, niech będzie, że losowej. Gra, gra i gra. Udaje mu się wygrać raz, drugi i trzeci, nabiera przekonania o tym, że ma szczęście. Niektórzy z tych, co to widzą zaczynają obstawiać tak, jak szczęściarz! Aż do spektakularnej katastrofy. Albo odwrotnie - prawo zmiany jest odbiciem przekonania, że skoro wyrzuciliśmy już na kostce krytyczny sukces, to dla równowagi zaraz pewnie wypadnie nam porażka...

Obie domniemane prawidłowości wynikają bardziej z chęci usystematyzowania rzeczywistości, której często uporządkować się nie da, niż z czego innego. Z punktu widzenia prawdopodobieństwa należy powiedzieć, że nieważne, ile wykonujemy losowań, powiedzmy, że rzutów kością, każde z nich jest niezależne od pozostałych. Wyrzucając dwudziestkę na k20 nijak nie wpływamy na wynik kolejnych rzutów. No chyba, że kość jest trefna i wyrzucenie dwudziestki łączy się z jakąś nieuczciwą ingerencją. Wyrzucenie na k100 trzech 00 z rzędu jest tak samo prawdopodobne, jak wyrzucenie trzy razy z rzędu 37 i tak samo prawdopodobne, jak wyrzucenie układu, powiedzmy, kolejno: 14, 83, 55 (P=0,0001%).
Gwoli uzupełnienia: znalazłem ciekawy artykuł dotyczący prawa serii (link) - jak widać rzeczone prawo, chociaż nieprawdziwe, jest na tyle poważnym zagadnieniem, że nawet poważni profesorowie z poważnych uczelni się nim zajmują, a jednocześnie na tyle niepoważnym, że inni poważni uczeni mają im za złe, że się biorą za niepoważne kwestie. Ach, ten świat nauki :D

Prawem, o którym chciałem napisać kilka słów, a które, dla odmiany, działa, jest Prawo Wielkich Liczb.Właściwie to więcej niż jedno prawo, bo formułowano je na różne sposoby, ale chodzi w zasadzie o jedną konkretną właściwość rzeczywistości: otóż istnieje związek między liczbą wykonywanych doświadczeń, na przykład losowań, i prawdopodobieństwem otrzymania zadanego możliwego wyniku.
Gdzieś na początku XVIII wieku szwajcarski uczony nazwiskiem Bernoulli sformułował zasadę, że przy dużej liczbie prób częstość występowania danego zdarzenia losowego będzie odpowiednio bliska prawdopodobieństwu jego wystąpienia. Przy nieskończenie wielu próbach jedno powinno być równe drugiemu. Co to oznacza w praktyce, a w szczególności, co to oznacza dla graczy? Najprościej chyba rzec, że im większą liczbą kostek rzucamy, tym mniejsza przypadkowość, co przekłada się choćby na większe możliwości przewidzenia wyniku danej akcji. Im więcej losowań, tym mniejsza szansa na "szczęście" czy "pecha" w rzutach. Jeszcze inaczej: Prawo Wielkich Liczb mówi nam, że nieskończoność polega, między innymi, na tym, że teoria zgadza się tam z praktyką ;)

Następnym razem - próba potwierdzenia Prawa Wielkich Liczb metodą wykonania wielkiej liczby rzutów kością!

Tradycyjnie, bibliografia:
1. Wikipedia (Prawo Wielkich Liczb)
2. M. Zakrzewski, T. Żak: Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek
3. Hugo Steinhaus: Orzeł czy reszka?
4. T. Downarowicz: Artykuł "Dlaczego nieszczęścia chodzą parami"

Kości, kostki, kosteczki... Część czwarta.

Ostatnio mieliśmy przegląd form i kształtów kostek, dzisiaj coś trochę innego - piszę o oszukiwaniu.

Chyba każdy erpegowiec zna przynajmniej jednego takiego gracza, na którego trzeba uważać, bo szachrai przy rzutach koścmi. Rzuca tak, żeby nikt nie widział, ogłasza wspaniały sukces i szybko zbiera kości ze stołu, żeby nikt nie zobaczył. Albo korzystając z nieuwagi innych ustawia sobie kostki. I jeszcze łga w żywe oczy. Brzmi znajomo? Zresztą, tacy szemrani osobnicy to nie tylko domena RPG - równie dobrze mogą pomagać swojemu szczęściu w bitewniakach, planszówkach i wszędzie indziej, gdzie do losowania wyników używa się kostek.

Źródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg

Licencja: CC BY-SA 3.0

 
Oszukiwać można na wiele sposobów. Część z nich określiłbym jako zręcznościowe, albo wręcz prestidigitatorskie:). Niektóre to siermiężne sztuczki z szybkim rzucaniem i chowaniem kości. Tak łatwe do przejrzenia, że niekiedy ludzie z litości dla żałosnego oszusta machają na nie ręką. Podobną kategorią ściem kostkowych jest bezczelne wpieranie wszystkim dokoła ciemnoty (19 wypadło! kurna, nie patrzyliście? kiedy rzucałem? wtedy, co wszyscy!), tyle, że mniej w tym zręczności, a więcej krętactwa. Listę można rozwijać dalej, na przykład o numery typu rzucanie nie tą kością, którą się powinno, doliczanie jakichś niestworzonych modyfikatorów czy wreszcie próby sprzedania wymyślonych wyników. Są też metody tak wysublimowane, że niemal magiczne, na przykład rzucanie kością i zręczne podmienianie na inną, odpowiednio ustawioną (im większe zamieszanie przy stole, tym łatwiej coś takiego przeprowadzić).

Są też czarodzieje od podkręcania kości przy rzucie - wyobraźmy sobie kość sześcienną. Nadanie jej rotacji wokół osi poprowadzonej przez ścianki z jedynką i szóstką może (w niewielkim stopniu, chyba, że czarodziej jest naprawdę wysokiego levelu) wpłynąć na wynik minimalizując prawdopodobieństwo wypadnięcia skrajnych wartości (jeżeli potrzebujemy, np. minimum dwa, to taki rzut, gdzie prawdopodobieństwo wypadnięcia 1 jest mniejsze niż 1/6, poprawia naszą sytuację i mniejsza o to, że szóstka też wypada rzedziej). Takie rzucanie nie jest to łatwe, nie daje 100% pewności wyniku, ale jest możliwe do przeprowadzenia. Ot, taka strukturalna wada prostopadłościennych koste.

 Kolejny poziom szulerstwa, to oszukiwanie hardware'owe, czyli fałszowanie kości. O, tutaj możliwości jest naprawdę sporo. Trefne kości można normalnie i bez problemu kupić - wystarczy poszukać w internetach, żeby zobaczyć, że dostępne są różne typy i rodzaje. Najprostsze oszustwa polegają na usunięciu z kostki wartości najmniej korzystnej i zastąpienie jej inną, najbardziej korzystną. W wielu mechanikach jest to o tyle ułatwione, że te wartości odpowiadają po prostu najwyższej i najniższej, a większość kostek ma skrajne wyniki po przeciwnych stronach. Druga sprawa, która ułatwia tego typu szachrajstwa, to duża ilość ścianek na niektórych kościach - o ile skutecznie spreparować w ten sposób k6 byłoby dość ciężko i ktoś by się pewnie od razu połapał, że coś nie gra (choć nie twierdzę, że to niemożliwe do wdrożenia, jeśli warunki sprzyjają), to taka k20 jest już na tyle gęsta od pól i wartości, że oszustwo robi się całkiem proste. Pierwsze kości tego typu, które widziałem, to były właśnie k20, spreparowane pod oszukiwanie w systemach RPG na mechanice "d20" (DnD na przykład) - miały po dwie dwudziestki i zero jedynek (dwudziestka w tej mechanice oznacza automatyczny sukces, jedynka - automatyczną porażkę).
   
Trudniejsze do przeniknięcia są kości obciążane lub odciążane. Wygląda to tak, że wewnątrz kości umieszcza się niecentralnie ciężarek (lub boruje się pustą przestrzeń) i, tym samym, zmienia środek ciężkości bryły. Skoro środek nie jest w środku, tylko gdzieś bardziej w stronę jednej ze ścianek, prawdopodobieństwo, że kostka właśnie na niej wyląduje, rośnie. Tego typu kostki także można sobie kupić w sieci, a jak ktoś jest bardziej ambitny i ma zacięcie do majsterkowania, może je zrobić samemu. Jak? Dość prosto:
1. Weź kostkę, na początek niech to będzie k6, taka z oczkami, bo najprościej ją sfałszować.
2. Wywierć dziurkę w pojedynczym oczku, ostrożnie, bo kostka może pęknąć. Uważaj też, żeby nie wywiercić otworu głębiej, niż do pół kostki (jeśli kostka ma bok 12 mm, nie wierć dalej, niż na 6mm wgłąb). Najlepsza do tego byłaby wiertarka kolumnowa - na takiej najłatwiej uzyskać otwór o osi prostopadłej do ścianki kostki.
3. Wciśnij w otwór nieduży ciężarek, na przykład taki ołowiany, wędkarski. Porządnie go wklej, żeby nie latał wewnątrz kostki.
4. Zaślep otworek green stuffem, poxiliną albo czymś podobnym i pomaluj-zamaskuj (farbą albo choćby lakierem do paznokci).
No i proszę - oszukana kostka gotowa. Może nie za każdym razem, ale, statystycznie, najczęściej będzie na niej wypadać szóstka, bo jest naprzeciw dodatkowo obciążonej jedynki. Tego samego można próbować oczywiście z innymi niż k6 kostkami, ale jest to nieco wyższa szkoła jazdy, tym bardziej, że ich ścianki są  najczęściej oznaczane cyframi, nie oczkami. Ale da się to zrobić.

Gdzieś się zetknąłem z opisem zastosowania do oszustwa magnesów i elektromagnesów. O ile oszukaństwo z elektromagnesami to bardziej domena ruletki, to jest też możliwe dla rzutów kością - kostka ma w środku magnesik, umocowany, na przykład, północą do szóstki i południem do jedynki. Pod stołem jest elektromagnes, który wytwarza pole, spolaryzowane tak, jak nam akurat wygodnie (jak już ukrywamy w stole elektromagnes, to ukrycie przełącznika nie powinno sprawić kłopotu). Enka przyciąga eskę, eska enkę, wystarczy wybrać polaryzację. Ryzyko tutaj jest takie, że kostka z magnesem albo sam oszukańczy stół zacznie przyciągać coś metalowego i podstęp się wyda.

Wikipedia wymienia jeszcze kilka metod. Ciekawie brzmi idea wywiercenia wewnątrz kości układu otworów i łączących je kanalików i wprowadzenia do środka kropli rtęci. Opukiwanie kości podczas gry pozwala na przesuwanie obciążnika w pobliże właściwej ścianki. Drugi niezły pomysł z wikipedii o zastosowanie w roli odważnika wosku albo czegoś innego, co topnieje w temperaturach niższych niż temperatura ludzkiego ciała. Ściśnięcie w dłoni albo nawet dmuchnięcie na taką kostkę ma powodować rozpuszczenie wosku i umożliwia jego spłynięcie w stronę, która jest u dołu. Sprytnie.

Kości nie muszą być jednak aż do tego stopnia preparowane, żeby wpłynąć na wynik. Można sprzętowo wspomóc opisane wyżej metody zręcznościowo-magiczne. W tym celu najczęściej wystarczą nieczytelne opisy. Ciemnoczerwone czy ciemnozielone cyfry obramowane identycznym ornamentem na czarnym tle bywają na tyle trudne do odczytania, że względnie łatwo wmówić wszystkim dokoła, że wypadło co innego, niż faktycznie wypadło. Podobnie w przypadku kostek z chińskimi lub arabskimi oznaczeniami cyfr.
 
Tyle o samym oszukiwaniu. A jak zapobiegać takim praktykom? Najprościej chyba odpowiednio przygotować miejsce gry i wprowadzić kilka zasad uczciwego losowania.
Po pierwsze, wystarczające oświetlenie. Zdaje sobie doskonale sprawę, że, szczególnie przy erpegach, ważny jest klimat, a klimat najłatwiej zbudować w półmroku. Jednak miejsce, w którym lądują kostki, powinno być dobrze oświetlone. To tak, jak ze stołem do bilarda - odpowiednia lampa wisi na odpowiedniej wysokości, dzięki czemu stół jest jasny, ale wszystko naokoło stołu - już nie. Dobrym pomysłem może być zawieszenie lampy z ograniczającym rozpraszanie światła kloszem nisko nad stołem.
Co do zasad rzucania, mogą zawierać umowę, że kostka musi zawirować albo zrobić kilka obrotów po rzucie (płaskie lądowanie - przerzut). Raczej nie stosować nieczytelnych kostek. Rzucać należy w określonym porządku, po sygnale, a nie przed nim. Po rzucie - nie zabierać kości ze stołu. W trybie ekstremalnym wszyscy mogą rzucać tymi samymi kośćmi, ale osobiście bardzo mi się taka idea nie podoba (kostki, szczególnie w kontekście RPG, to przedmiot mocno osobisty).

Do wzmocnienia uczciwości losowania można też zastosować dodatkowe rekwizyty. Najprostszy z nich (i chyba najstarszy) to kubek - zamiast rzucać z ręki rzuca się z kubka, którym wcześniej należy porządnie potrząsnąć. Załatwia to sprawę magicznego podkręcania kostek czy innego szulerskiego rzucania z nadgarstka. Inny rodzaj sprzętu dedykowanego do czystego turlania kośćmi to wieże do losowań. Kostki wrzuca się u góry konstrukcji - turlają się w dół po kilku pochyłych platformach i wylatują u dołu na ograniczone dookoła "podwórko". Platform może być kilka i mogą być wymyślnie poustawiane, a wieżę można ładnie wykończyć, żeby stanowiła prawdziwą ozdobę stołu. Wprawdzie na umiejętnie sfałszowane kostki ani kubek, anie wieża nie pomoże, więc jak już węszymy spisek, bądźmy czujni ;)

No i tyle. Jeśli macie inne pomysły na kostkowe oszustwa albo zapobieganie oszustwom, albo szulerskie historie, zachęcam do podzielenia się w komentarzach:) Następnym razem będzie prawdopodobnie o prawdopodobieństwie.

Poprzednie artykuły z tej serii:
Część I
Część II
Część III

Bibliografia:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%9B%C4%87_do_gry
Andrzej Stój: Graj Fair (z serii Almanach Mistrza Gry), wydawnictwo Portal - tak, to papierowa książka:P

Kości, kostki, kosteczki... Część trzecia

Po dwóch częściach gawęd i opowieści spróbuję podsumować temat kształtów i form kostek. Nie oznacza to bynajmniej wyczerpania tematu - może jeszcze kiedyś do niego wrócę - ale, póki co, chciałbym przejść dalej. W związku z zapotrzebowaniem na jakąś klamrę dopinającą zagadnienie, proponuję w tej roli szybki przegląd kostek. Niektóre mam w swojej kolekcji (porobiłem im zdjęcia), na niektóre jedynie natknąłem się w miarę buszowania po sieci w poszukiwaniu danych:

k1 - wybór jednej możliwości z jednej dostępnej to niespecjalnie złożone zagadnienie. Jednak dla śmiechu zdarzają się "kostki" w formie kulki z zaznaczoną jedynką albo niby-wstęgi Moebiusa (patrz komentarz pod poprzednim artykułem).

k2 - wybór jednej z dwóch opcji czyli rzut monetą. Jak monety nie ma akurat pod ręką, losowanie można z powodzeniem zrealizować dowolną kostką o parzystej liczbie ścian. Wynik można zinterpretować na zasadzie parzyste-nieparzyste, czy podzielić zakres na pół, ewentualnie wymyślić coś bardziej wydumanego. Dla tych, którym takie rozwiązania nie odpowiadają, istnieją specjalnie oznaczone kostki (np. k6, z których trzy ściany są oznaczone zerem i trzy jedynką) a nawet kostki o specjalnym kształcie (na przykład takie kostki robi polska firma Q-Workshop, tutaj można sobie obejrzeć, a nawet nabyć: http://q-workshop.com/p/288/3027/unique-runic-black-d2-amp-white-d4-dice-set-.html )

k3 - najczęściej spotyka się k6 ze ściankami oznaczonymi po dwie: 1, 2 i 3. Spotkałem też k3 w formie kuli z trzema ściętymi płaszczyznami.

k4 - czworościan foremny. Alternatywą jest kość występująca w zestawach "beczułek", tzn. prostopadłościan z dospawanymi do dwóch kwadratowych podstaw piramidkami. Inne opcje to, np. czworościan ze ściętymi rogami, o którym pisałem poprzednio albo coś takiego, co można obejrzeć nieco powyżej, czyli odpowiednio oznaczona k2. Opcji jest wiele.

k5 - graniastosłup o podstawach w kształcie trójkątów równobocznych. Osobiście nie lubię tego typu kostek, bo wydają mi się nie do końca uczciwe (odsyłam do poprzedniego artykułu), ale fakt ich istnienia odnotować wypada. Istnieje też wersja turlana - prostopadłościan pięciokątny z zaostrzonymi lub zaokrąglonymi podstawami. Wynik rzutu k5 można też zasymulować, choćby przez rzut k10 z wynikiem podzielonym przez dwa i z zaokrąglonym w górę albo przez rzut k6 z przerzutem szóstki.

k6 - najpopularniejsza kość, chyba nie wymaga komentarza. Oprócz sześcianu jest też wersja "beczułkowa".

k7 - znowu brzydki graniastosłup. Widziałem też jakąś taką dziwną bryłę z ponacinanej kuli, ale nie bardzo wiem, jak to zakwalifikować (google, hasło "d7 dice"). Wersja turlana przemawia do mnie najbardziej. Albo k8 z przerzuceniem ósemki.

k8 - stary, dobry ośmiościan foremny. Jest też beczułka i wersja półforemna ze ściętymi rogami (była o niej mowa ostatnio)

k9 - ech, te nieparzyste liczby... Istnieje k9 z ponacinanej kuli (analogicznie do k7) i graniastosłup-wałek. Najłatwiej rzucić k10 i przerzucić 0.

k10 - trapezoedr pięciokątny. Poza nim także "beczułka" (zdjęcie poniżej). Ścianek k10 tradycyjnie nie oznacza się od 1 do 10 tylko od 0 do 9. Zapewne powszechnie używany system dziesiętny miał w tym swój udział.

k11, 13, 15... generalnie graniastosłupowe wałeczki do turlania. Internet zna też prototypy ponacinanych odpowiednio kulek, ale nie wiem, czy ktokolwiek tego używa do losowań, czy to bardziej kolekcjonerski bajer. Na tym etapie zostawiam temat kostek o nieparzystych.

k12 - bryła foremna o ścianach z pięciokątów. Alternatywą jest dwunastościan romboidalny (ściany w kształcie rombów). Można też spotkać formę "beczułkowatą" i inne wynalazki.

k14 - zazwyczaj w formie dwóch sklejonych ostrosłupów o podstawie siedmiokątnej lub trapezoedru siedmiokątnego.

k16 - podobnie, jak k14. Jest też wersja przypominająca piłkę do nogi, taką z łatek - jej ścianki to sześcio- i pięciokąty, jest też kilka powierzchni bez oznaczeń, które są zaoblone, żeby się kostka na nich nie zatrzymywała. Ot, ciekawostka.

k18 - Analogicznie do k14 i k16. Oprócz tego widziałem też k18 w formie bryły o ścianach cztero- i sześciokątnych.

k20 - ładna, foremna bryła o trójkątnych ściankach. "Baryłka" też jest.

k22 - podwójna piramida lub trapezoedr (jak k14 czy k16). K26, k28 czy k32 też można tak zbudować. Ilość ścianek można zwiększać, ale w którymś ścianki będą za wąskie i kostka przestanie być czytelna.

k24 - wiadomo mi o dwóch najpopularniejszych formach k24, obydwie są dość ciekawe. Jedna to dwudziestoczterościan deltoidalny. Druga - bryła powstała na zasadzie doklejenia do ścian sześcianu piramidek o względnie niewielkiej wysokości.

k30 - bryła z grupy wielościanów Catalana o ścianach w kształcie rombów. Kształt jest już mocno kulisty, więc kostka dobrze się turla.

k48 - kolejny wielościan Catalana. Ściany w kształcie trójkątów. Nigdy nie widziałem takiej kostki, ale internet widział;)

k60 - największa z moich kostek i znów wielościan Catalana. Po wyobleniu krawędzi to prawie kulka, ale z rzucaniem ani z czytelnością nie mam problemów. Ścianki mają kształt deltoidów.

k100 i k% - k100 ma kształt kuli z odważnikiem w środku. Jej kształt nazywa się podobno Zocchihedronem (po polsku to będzie zocchiedr albo zocchiścian) na cześć wynalazcy. Tak mówi wikipedia. Spotkałem się z opiniami użytkowników, że kostka jest dość krucha i nadaje się bardziej na półkę niż do użytku. Losowanie k100 najczęściej realizuje się przez rzucanie dwiema k10, z których jedna jest oznaczona dziesiątkami zamiast jedności - k1000 czy k10000 też można w tej sposób otrzymać.

k120 - prawdopodobnie szczyt możliwości, jeśli idzie o wytwórstwo kości. Wielościan Catalana. Dostałem cynk, że jeden z producentów zbiera obecnie przedpłaty od chętnych na takie cudo:)

Tak wygląda moja lista kostek. Jeśli coś istotnego lub ciekawego pominąłem - dajcie znać w komentarzach, to się ją uzupełni. A póki co w tym miejscu pozostawiamy temat kształtów kostek (może jeszcze kiedyś do niego wrócę, ale raczej nieprędko). Jeszcze nie wiem, jaki temat poruszyć następnym razem. Opcje są dwie:
1) Oszukiwanie w rzutach kośćmi
2) Kwestie prawdopodobieństwa w losowaniu z użyciem jednej lub wielu kości
Jak ktoś ma sugestię/preferencję w tej materii (zupełnie inny pomysł też wchodzi w grę) to niechaj się nim podzieli :)

Część pierwsza: http://kaszostka.blogspot.com/2016/03/kosci-kostki-kosteczki.html
Część druga:  http://kaszostka.blogspot.com/2016/04/kosci-kostki-kosteczki-czesc-druga.html

Kości, kostki, kosteczki... Część druga

Kontynuuję dziś dywagacje na temat kości do gry. Zanim przejdę do zapowiedzianego ostatnio tematu różnych możliwości interpretacji wyników losowań, pewna ważna kwestia, którą pominąłem a, którą powinienem był, jak sądzę, na samym początku poruszyć. Co to właściwie jest kostka albo czym powinien być przedmiot, żeby można było za jego pomocą realizować funkcję kostki?

Chyba właśnie funkcjonalność jest tu sprawą kluczową. Nie odkryję raczej Ameryki pisząc, że kostka obiekt służący do losowania. Jak już ustaliliśmy, ilość ścianek może być bardzo różna, ale raczej dobrze by było żeby wszystkie miały identyczne lub liniowo symetryczne kształty. No i żeby przynajmniej prawdopodobieństwo wypadnięcia każdego możliwego wyniku było identyczne. Oczywiście mówię tu o kostkach uczciwych, bo są i nieuczciwe. Można bez większych problemów kupić kości obciążone, na których prawdopodobieństwo wypadnięcia pożądanego wyniku jest celowo poprawione przez przesunięcie środka ciężkości.
 
W tym miejscu warto wspomnieć, że istnieją także kostkowe dziwaki w formie, o której była mowa ostatnim razem (graniastosłup o podstawach w kształcie wielokątów) z tą różnicą, że nie turla się nimi, a zwyczajnie rzuca, a proporcje krawędzi są tak dobrane, że prawdopodobieństwo, że kostka zatrzyma się na jednej z wielokątnych podstaw jest takie samo, jak to, że zatrzyma się na którejś z prostokątnych ścian bocznych. Teoretycznie niby ok, ale mnie osobiście taki koncept nie pasuje, bo widzę możliwość oszustwa przy rzucaniu - myślę, że nadanie kostce rotacji w płaszczyźnie równoległej do podstaw może zmniejszyć prawdopodobieństwo lądowania kostki na podstawach, a tym samym wpłynąć na wynik. Wiem, że podobny zarzut można postawić choćby wobec k6, ale moja wątpliwość i tak pozostaje.

Zdarzają się też kości różnościenne, które są jednak tak skonstruowane, że na niektórych ściankach się nie zatrzymują. Przykładem może być tutaj rzadko spotykana forma k4. Jak wiadomo, żeby wynik standardowej k4 odczytuje się nie z płaszczyzny u góry (bo takiej płaszczyzny nie ma), tylko z opisów umieszczonych na ściankach, które po rzucie znalazły się bezpośrednio przy powierzchni, na której kostka wylądowała. Ktoś wymyślił, że wcale nie musi tak być i wymyślił, żeby odpowiednio ściąć wierzchołki, a potem na tych miejscach umieścić wyniki. Taka bryła nazywa się czworościanem ściętym i, jeśli idzie o ścisłość, jest bardziej ośmio- niż czterościanem. Jej ściany to cztery trójkąty równoboczne, powstałe w miejscu wierzchołków i cztery sześciokąty foremne, w miejscu dawnych, trójkątnych ścian.

Żródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedtetrahedron.gif

Licencja: CC BY-SA 3.0

Można dodać jeszcze, że taka bryła należy do wielościanów półforemnych albo archimedesowych. Wikipedia pisze o tym następująco (link w bibliografii pod artykułem):

"Wielościan półforemny (albo archimedesowy – od imienia Archimedesa z Syrakuz) – wielościan, którego ściany są wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jednak poszczególne ściany różnią się od siebie oraz istnieje izometria przekształcająca każdy wierzchołek na każdy inny (...)"

Podobne wariacje można też zrobić z k8, przy czym w związku z faktem, że k8 ma wszystkie ścianki równoległe parami, jest to bardziej udziwnienie, niż funkcjonalność. No, może tyle, że jest mniej "rogata" i lepiej się turla. Taka przerobiona kaósemka ma osiem ścian w kształcie sześciokątów (dawne trójkątne ściany o poobcinanych rogach) i sześć ścian w kształcie kwadratów. Zapewne na tych dwóch przykładach możliwości się nie kończą, chociaż nie przychodzi mi do głowy inna kostka zbudowana na tej zasadzie. No, może odrobinę pokrewna jest idea kształtu części kaszóstek, które przecież nie są sześcianami, a raczej kulkami ze ściętymi na kształt sześcianu wypukłościami...

Żródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Truncatedoctahedron.gif

Licencja: CC BY-SA 3.0

Na tym koniec na dziś. W bibliografii oprócz artykułów na wikipedii pozwoliłem sobie na podlinkowanie dwóch stron zagramanicznych producentów, którzy robią takie dziwne kostki. Oczywiście można wyguglać więcej podobnych stron, ale akurat na te strony zerkałem podczas pisania.
O interpretowaniu wyników jednak będzie innym razem, bo, nawet przy tak pobieżnym traktowaniu tematu, można jeszcze sporo napisać o formach i kształtach kostek.

Pierwsza część artykułu Kości, kostki, kosteczki... : http://kaszostka.blogspot.com/2016/03/kosci-kostki-kosteczki.html

Bibliografia:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%9B%C4%87_do_gry
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_p%C3%B3%C5%82foremny
https://pl.wikipedia.org/wiki/Czworo%C5%9Bcian_%C5%9Bci%C4%99ty
https://pl.wikipedia.org/wiki/O%C5%9Bmio%C5%9Bcian_%C5%9Bci%C4%99ty

http://thedicelab.com/UniqueDesigns.html
http://www.koplowgames.com/

Kości, kostki, kosteczki...

Kostkę sześcienną zna chyba każdy. W końcu w dawnych czasach każdy "Chińczyk" czy inny "Eurobiznes" tylko i wyłącznie na K-szóstkach operował. Ale przecież na k6 świat się nie kończy - pamiętam, jakim zdziwieniem było dla mnie odkrycie faktu istnienia także kostek o innych niż 6 liczbach ścian! K4, K8, K10, K12, K20 - jakież możliwości losowania! Jaka egzotyka! Magia! Kiedy już się człowiek do tego przyzwyczaił i ochłonął, pojawiło się pytanie: jakie jeszcze kostki mogą istnieć? I dzisiaj trochę o tym.

Wymienione już k4, k6, k8, k12 i k20 wyczerpują zbiór wielościanów foremnych, nazywanych też bryłami platońskimi. Charakteryzują się tym, że wszystkie ich ściany są identycznymi wielokątami foremnymi - dla k4, k8 i k20 każda ściana jest trójkątem równobocznym, dla k6 - kwadratem, dla k12 - pięciokątem. Pozostałe warunki "foremności" wielościanu to zbieganie się jednakowej liczby ścian w każdym wierzchołku i jego wypukłość (jakikolwiek odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do bryły sam w całości należy do tej bryły).

Źródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Platonic_solids.jpg

Licencja: CC BY-SA 4.0

Ktoś mógłby spytać "a co z k10"? K10 jako bryła nie spełniająca definicji foremności, znalazła się w grupie podstawowych kości niejako na doczepkę, zapewne dlatego, że mamy po 10 palców i liczymy w systemie dziesiętnym (przynajmniej większość z nas tak ma). Ściany k10 są deltoidami (ich kształt przypomina archetypowy latawiec). Kształt k10 angielska wikipedia nazywa "pentagonal trapezohedron", co chyba najlepiej będzie przetłumaczyć na polski jako trapezoedr pięciokątny. I tutaj ciekawa sprawa - na tej samej zasadzie, na której zbudowana jest k10 możnaby skonstruować dowolną kość o parzystej liczbie ścian większej lub równej 6. Górną granicę wyznacza chyba tylko czytelność takiej kostki - jeśli ścian byłoby za dużo, określenie jaka wartość jest na górnej ściance mogłoby sprawiać trudności.

Żródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trapezohedron5.jpg

Licencja: CC BY-SA 3.0

Inna możliwość zrealizowania niemal dowolnej kości o parzystej liczbie ścian to rozwinięcie kształtu k8, którą można sobie wyobrazić jako dwa ostrosłupy o podstawie kwadratowej (czyli piramidki) sklejone podstawami. Odchodząc od kształtu będącego bryłą platońską możemy zastąpić piramidki ostrosłupami o podstawie innych niż kwadraty wielokątów (może to być pięcio-, sześcio-, siedmio- czy nawet czterdziestojednokąt). Podobnie, jak w przypadku kości trapezoedrowych ograniczeniem liczby ścian jest tutaj wygoda odczytywania wyniku. 


A jak zbudować kość, która będzie miała nieparzystą liczbę możliwych wyników? Na przykład konstruując sobie graniastosłup, który ma prostokątne ściany łączące dwie równoległe podstawy w kształcie foremnego wielokąta. Jeżeli chcielibyśmy stworzyć, dajmy na to, k17, wystarczy wziąć graniastosłup z foremnymi siedemnastokątami w podstawach i turlać nim. Żeby uniknąć niebezpieczeństwa zatrzymania się kości na którejś z siedemnastokątnych ścian można te ściany "zastrugać" doczepiając do nich siedemnastokątne ostrosłupy i odpowiednio wydłużając prostokątne ścianki. Należy wziąć jeszcze pod uwagę, że nieparzysta liczba ścian odpowiadających wynikom powoduje, że po rzucie taką kostką u góry znajduje się krawędź, a nie ściana. Oznacza to tyle, że liczbę oznaczającą wynik należałoby umieścić przy krawędzi, a nie pośrodku ścianki, podobnie, jak w przypadku k4.

 

Tyle, jeśli chodzi o kości-dziwolągi. Oczywiście wymienione możliwości to nie koniec - kostkę można przyrządzić na naprawdę wiele sposobów. Na przykład w sklepach jest dostępna k30, w kształcie trzydziestościanu rombowego, który należy do tzw. wielościanów Catalana (nie będę się wdawał w szczegóły, a zainteresowanych odsyłam do wikipedii, link w bibliografii.

Reasumując, istnieje całe mnóstwo kostek, a nawet, jak jakaś nie istnieje, to można ją stworzyć. Sky is the limit! Do tego dochodzą jeszcze różne możliwości interpretowania wyników, ale o tym innym razem.

Bibliografia:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%9B%C4%87_do_gry
https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezohedron
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bciany_Catalana
http://ptkryst.org.pl/ptk_files/ptk_files/stk.pdf